Questão 160 – Geometria Plana
Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m².
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
A) R$ 22,50
B) R$ 35,00
C) R$ 40,00
D) R$ 42,50
E) R$ 45,00
Solução
Vamos calcular a área clara.
O lado do quadrado ABCD é dado por pitágoras.
Sabemos que a medida do vértice até o ponto B é igual a metade do lado do quadrado maior que é 1m, igualmente para a medida até o ponto A.
Fazendo pitágoras temos que, seno L o lado AB:
L2 = 0,52 + 0,52
L2 = 0,25 + 0,25
L = √0,5
Vamos agora calcular a área desse quadrado
L.L = 0,5 m2
A área clara corresponde a área de ABCD menos a área de BPDQ, agora vamos calcular BPDQ
Podemos separar essa área em dois triângulos de base PQ que mede exatamente 0,5 m, a altura desses triângulos também é dada pela metade do lado do quadrado de 1m, ou seja:
A área do triângulo BPQ é
0,5.0,5/2 = 0,125
Como o triângulo é igual, a soma dos dois é
0,125 + 0,125 = 0,25 m2
Então já podemos calcular a área clara
0,5 – 0,25 = 0,25 m2
Consequentemente a área total sombreada será
1 – 0,25 = 0,75 m2
O preço de 0,25 m2 do material claro é
0,25.50 = 12,50 reais
E o preço de 0,75 m2 do material sombreado é
0,75.30 = 22,50 reais
Somando esses valores, cada vitral custa
12,50 + 22,5 = 35 reais
Alternativa B
