Questão 164 – ENEM 2009

Questão 164 – Trigonometria

Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a

(considere  √3/3 = 0,58)

A) 50%.

B) 43%

C) 37%

D) 33%

E) 19%

Solução

Conseguimos calcular a área do triângulo correspondentes à área de João.

Sabemos que 1/4 de um círculo tem 90^o, então se esse ângulo foi dividido em 3 partes, cada ângulo tem 30^o. 

Vamos calcular a área de João:

Como é um triângulo retângulo, a área é dada pelo produto dos catetos dividido por 2.

Sabemos que um dos catetos é o lado menor do retângulo enquanto o outro cateto está oposto ao ângulo de 30^o, conseguimos calcular usando as propriedades trigonométricas.

Se um cateto vale 2, calculamos o outro (x) usando

tg(30^o) =  √3/3

E 

tg(30^o) = x/2

Então

√3/3 = x/2

x = 2.√3/3

Então a área é

Aj = (2.√3/3 . 2)/2 = 2.√3/3

O enunciado diz que 

√3/3 = 0,58

Entao

Aj = 2 . 0,58 = 1,16 m²

A área total é 

A = 2.3 = 6 m² 

A razão entre Aj e A nos dará a porcentagem

1,16 / 6 = 19,3%

Alternativa E