Questão 152 – ENEM 2021

Questão 152 – Função de 2º Grau

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo  e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy – y² e x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma da duas maiores soluções da equação (aΔb)*(bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b=1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Solução

Sendo b = 1, 

(aΔb)*(bΔa) = (aΔ1)*(1Δa)

Pelas propriedade apresentadas

(aΔ1)*(1Δa) = (a² + 1.a – 1²)*(1² + 1.a – a²)

(a² + a – 1).(1 + a – a²) = (a² + a – 1).(1 + a – a²) + (a² + a – 1)

(a² + a – 1).(1 + a – a²) + (a² + a – 1) = (a² + a – 1).[(1 + a – a²) + 1]

(a² + a – 1).[(1 + a – a²) + 1] = (a² + a – 1).(2 + a – a²)

Se (aΔ1)*(1Δa) = 0

então 

(a² + a – 1).(2 + a – a²) = 0

Para que a multiplicação acima seja igual a zero temos duas opções:

a² + a – 1 = 0     ou    – a² + a + 2 = 0

Vamos calcular qual valor de a satisfaz cada equação usando bhaskra

1º) a² + a – 1 = 0

Δ = 1 + 4 = 5

a = (-1 +- √5)/2

a₁ = (-1 + √5)/2

a₂ = (-1 – √5)/2

2º) -a² + a + 2 = 0

Δ = 1 + 8 = 9

a = (1 +- √9)/2

a₃ = (1 + 3)/2 = 2

a₄ = (1 – 3)/2 = -1

O enunciado nos diz que a mensagem enviada é a soma das duas maiores soluções que nesse caso são a₁ e a₃.

(-1 + √5)/2 + 2 = (3 + √5)/2

Alternativa E

Veja a resolução com mais detalhes no vídeo abaixo!