Questão 137 – ENEM 2022

Questão 137 – Probabilidade

A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.

Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.

Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

A) 35/64

B) 40/64

C) 42/64

D) 44/64

E) 52/64

Solução:

Vamos dividir em casos e vamos fixar uma vitória no primeiro jogo em todos os casos.

1º Caso: Se o time campeão jogou 7 jogos.

A probabilidade de vitórias e derrotas é a mesma: 1/2, se fixamos a primeira vitória temos 6 jogos para distribuir o restante das vitórias e derrotas, ou seja:

1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/64 

Para que o campeonato termine no 7º jogo, o time também tem que ter sido vitorioso nele, então sobram 2 vitórias para serem distribuídas entre os 5 jogos restantes, para isso usamos a combinação C_5,2 = 5!/(2!.3!)

Então 1/64 . 5!/(2!.3!) = 10/64

2º Caso: Se o time campeão jogou 6 jogos.

A probabilidade de vitórias e derrotas é a mesma: 1/2, se fixamos a primeira vitória temos 5 jogos para distribuir o restante das vitórias e derrotas, ou seja:

1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2   = 1/32

Para que o campeonato termine no 6º jogo, o time também tem que ter sido vitorioso nele, então sobram 2 vitórias para serem distribuídas entre os 4 jogos restantes, para isso usamos a combinação C_4,2 = 4!/(2!.2!)

Então 1/32 . 4!/(2!.2!) = 6/32 = 12/64

3º Caso: Se o time campeão jogou 5 jogos.

A probabilidade de vitórias e derrotas é a mesma: ½, se fixamos a primeira vitória temos 6 jogos para distribuir o restante das vitórias e derrotas, ou seja:

1/2 . 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/16

Para que o campeonato termine no 5º jogo, o time também tem que ter sido vitorioso nele, então sobram 2 vitórias para serem distribuídas entre os 3 jogos restantes, para isso usamos a combinação C_3,2 = 3!/(1!.2!)

Então 1/16 . 3!/(1!.2!) = 3/16 = 12/64

4º Caso: Se o time campeão jogou 4 jogos

A probabilidade de vitórias e derrotas é a mesma: 1/2, se fixamos a primeira vitória temos 3 jogos para distribuir o restante das vitórias 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8

Se o time teve quatro vitórias em 4 jogos, existe uma única combinação.

Então a probabilidade é de 1/8 . 1 = 1/8 = 8/64

Somando todas as probabilidades temos:

10/64 + 12/64 + 12/64 + 8/64 = 42/64

Alternativa C

Veja a resolução com mais detalhes no vídeo abaixo!