Questão 146 – ENEM 2014

Questão 146 – Lógica

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x.5^y.7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

A) x. y. z

B) (x+ 1).(y + 1)

C) x . y . z – 1

D) (x + 1).(y + 1).z

E) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1

Solução

Se N não é múltiplo de sete, não temor 7 na sua forma fatorada ou seja, se temos

N = 2^x.5^y.7^z

Então z = 0

Se N é múltiplo de 10 sabemos que é múltiplo de 2 e 5, então x e y são maiores ou igual a 1

O número de divisores de um número é dado pela multiplicação dos expoentes de seus fatores primos somados de 1, ou seja, se são 3 fatores, cada um com expoente x, y e z, os divisores são

(x + 1).(y + 1).(z + 1) 

Mas esse número inclui ele mesmo, para deixarmos de contá-lo basta subtrair 1

(x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1

Alternativa E