Questão 154 – ENEM 2015

Questão 154 – Logarítmo

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

Solução

Sabemos que o eixo x divide h ao meio, ou seja, em cima de x temos h/2 e abaixo temos h/2.

Podemos observar os dois pontos destacados de coordenadas A:(x₁,-h/2) e B:(x₂,h/2), precisamos descobrir quanto vale as coordenadas x de cada ponto.

Sabemos que a diferença das coordenadas x é não, podemos observar que

x₂ =x₁ + n 

Então podemos escrever as coordenadas dos pontos como A:(x₁,-h/2) e B:(x₁ + n, h/2)

Sendo y = log(x), podemos substituir as coordenadas na equação formando um sistema de duas equações

(1) -h/2 = log(x₁)

E

(2) h/2 = log(x₁ + n)

Substituindo (2) em (1) temos

– log(x₁ + n) = log(x₁)

=> log(x₁ + n)^-1 = log(x₁)

Usando as propriedades de log temos que

(x₁ + n)^-1 = x₁

=> 1/(x₁ + n) = x₁

1 = x₁² + n.x₁

x₁² + n.x₁ – 1 = 0

Por bhaskara e lembrando que x₁ é positivo, temos apenas uma raiz

x₁ = [-n + √(n² + 4)]/2

Substituindo esse valor na equação (2):

h/2 = log{[-n + √(n² + 4)]/2 + n}

h =2. log{[-n + √(n² + 4)]/2 + n}

Resolvendo a parte interna do log temos

[-n + √(n² + 4)]/2 + n = [n + √(n² + 4)]/2, então

h = [n + √(n² + 4)]/2

Alternativa E