Questão 160 – ENEM 2016

Questão 160 – Logaritmo

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000℃ e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log₁₀3 e 1,041 como aproximação para log₁₀11.

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30℃ é mais próximo de

A) 22

B) 50

C) 100

D) 200

E) 400

Solução

A liga metálica começando a 3000 reduzindo a 1% a cada 30 minuto temos a seguinte fórmula, sendo T temperatura e t tempo em horas:

T(t) = 3000.(99/100)^2t (serão necessários dois períodos de 30 minutos para alcançar uma hora)

Queremos saber quando T(t) = 30

30 = 3000.(99/100)^2t 

30/3000 = (99/100)^2t 

1/100 = (99/100)^2t 

Tirando log dos dois lados temos

Log(1/100) = Log(99/100)^2t 

Sabemos que Log(1/100) = -2 e que Log(99/100)^2t = 2t.Log(99/100), então temos

-2 = 2t.Log(9.11/100)

Pela propriedade de Log temos

-2 = 2t(Log(9) + Log(11) – Log(100))

-2 = 2t(Log(3²) + Log(11) – Log(100))

-2 = 2t(2Log(3) + Log(11) – Log(100))

Sabemos Que Log(100) = 2, Log(3) = 0,477 e Log(11) = 1,041, então:

-2 = 2t(2.0,477 + 1,041 – 2)

-2 = 2t(0,954 + 1,041 – 2)

-1 = t(1,995 – 2)

-1 = t(-0,005)

t = -1/(-0,005)

t = 200

Alternativa D