Questão 176 – Trigonometria
O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
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Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Solução
Caminho I:
Pelo caminho I a distância entre a cidade A e a Rodovia 003 é 40 enquanto precisamos calcular a distância da rodovia 003 a cidade B.
Podemos calcular por Pitágoras essa distância usando o triângulo onde esse percurso é a hipotenusa:
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Então x2 = 302 + 202
x = √1300
No caminho I a distância percorrida é 40 + √1300 km ≈ 76 km
Fazendo o mesmo passo para todos os percursos temos:
Caminho II:
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x2 = 402 + 102 e y2 = 202 + 202
Resolvendo x = √1700 e y = √800
A distância percorrida no caminho II é √1700 + √800 ≈ 69 km
Caminho III:
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x2 = 402 + 152 e y2 = 202 + 152
Resolvendo x = √1825 e y = √625
A distância percorrida no caminho III é √1825 + √625 ≈ 67 km
Caminho IV:
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x2 = 402 + 202 e y2 = 202 + 102
Resolvendo x = √2000 e y = √500
A distância percorrida no caminho IV é √2000 + √500 ≈ 66 km
Caminho V:
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x2 = 402 + 302 e y = 20
Resolvendo x = 50 e y = 20
A distância percorrida no caminho V é 50 + 20 = 70 km
A menor das distância é o caminho IV
Alternativa D
Veja a resolução com mais detalhes no vídeo abaixo!