Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V − A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?
A) 2V − 4F = 4
B) 2V − 2F = 4
C) 2V − F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Solução
Pensando em faces triangulares onde cada A é conectada a duas F (como diz o enunciado), assim eu sei que se cada face tem 3 arestas mas cada aresta é compartilhada a 2 faces, teremos
A = 3F/2
Substituindo esse valor na relação de Euler
V – 3F/2 + F = 2
V – F/2 = 2
Multiplicando os dois lados por 2 teremos
2V – F = 4
Alternativa C
