{"id":7324,"date":"2024-07-10T08:52:39","date_gmt":"2024-07-10T11:52:39","guid":{"rendered":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/?p=7324"},"modified":"2024-09-05T14:56:06","modified_gmt":"2024-09-05T17:56:06","slug":"questao-168-enem-ppl-2016","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/questao-168-enem-ppl-2016\/","title":{"rendered":"Quest\u00e3o 168 – ENEM PPL 2016"},"content":{"rendered":"\n

Na figura est\u00e3o representadas, em um plano cartesiano, duas circunfer\u00eancias: C1<\/sub> (de raio 3 e centro O1<\/sub>) e C2<\/sub> (de raio 1 e centro O2<\/sub> )<\/strong>, tangentes entre si, e uma reta t tangente \u00e0s duas circunfer\u00eancias nos pontos P e Q.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Nessas condi\u00e7\u00f5es, a equa\u00e7\u00e3o da reta t \u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Precisamos descobrir as coordenadas de pelo menos 2 dos pontos da reta, vamos descobrir R e em seguida descobrir o \u00e2ngulo que se encontram nesse v\u00e9rtice para por fim descobrir a coordenada do ponto no eixo y.<\/p>\n\n\n\n

Podemos observar que os tri\u00e2ngulos O1<\/sub>PR e O2<\/sub>QR s\u00e3o semelhantes por todos os seus \u00e2ngulos serem congruentes, isso quer dizer que a raz\u00e3o entre seus lados \u00e9 igual!<\/p>\n\n\n\n

Vamos ent\u00e3o comparar as raz\u00f5es<\/p>\n\n\n\n

O1<\/sub>P\/O1<\/sub>R = O2<\/sub>Q\/O2<\/sub>R<\/p>\n\n\n\n

Sendo O1<\/sub>P o raio da circunfer\u00eancia maior e O2<\/sub>Q da menor, podemos observar que O1<\/sub>R \u00e9 igual a 1 raio da circunfer\u00eancia maior, 2 da menor e um comprimento que chamaremos de A, observado na imagem a seguir.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

E O2<\/sub>R \u00e9 igual a 1 raio da circunfer\u00eancia menor e A.<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o substituindo os valores dos raios e transcrevendo em equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

O1<\/sub>P\/O1<\/sub>R  = 3\/(3+2+A) <\/p>\n\n\n\n

E<\/p>\n\n\n\n

O2<\/sub>Q\/O2<\/sub>R = 1\/(1+A)<\/p>\n\n\n\n

Igualando<\/p>\n\n\n\n

3\/(3+2+A) = 1\/(1+A)<\/p>\n\n\n\n

Multiplicando cruzado e resolvendo temos que<\/p>\n\n\n\n

3(1+A) = (3+2+A)<\/p>\n\n\n\n

3 + 3A = 5 + A<\/p>\n\n\n\n

2A = 2<\/p>\n\n\n\n

A = 1 <\/p>\n\n\n\n

Com essa informa\u00e7\u00e3o conseguimos descobrir a coordenada do ponto R j\u00e1 que ele est\u00e1 a dist\u00e2ncia de 2 raios da circunfer\u00eancia maior, 2 raios da menor e A em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem, ou seja a coordenada de R \u00e9<\/p>\n\n\n\n

2.3 + 2.1 + 1 = 9<\/p>\n\n\n\n

R = (9,0)<\/p>\n\n\n\n

Com isso sabemos que o Sen do \u00e2ngulo em R \u00e9 o cateto oposto sobre a hipotenusa, usando o tri\u00e2ngulo maior para calcular temos<\/p>\n\n\n\n

3\/(3+2.1+1) = 3\/6 = 1\/2<\/p>\n\n\n\n

Se o sen do \u00e2ngulo em R \u00e9 1\/2 sabemos que o \u00fanico \u00e2ngulo com esse sen \u00e9 30 ent\u00e3o R = 30o<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Com essa informa\u00e7\u00e3o conseguimos calcular o lado do tri\u00e2ngulo de v\u00e9rtice na origem T e o ponto em que a reta corta o eixo y S.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Se Tg 30 = cateto oposto\/adjacente, ent\u00e3o <\/p>\n\n\n\n

Tg 30 = ST\/TR<\/p>\n\n\n\n

Sabemos que TR = 2.3 + 2.1 + 1 = 9<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

Tg 30 = ST\/9<\/p>\n\n\n\n

Sabemos que Tg 30 =  \u221a3\/3, ent\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

ST\/9 = \u221a3\/3<\/p>\n\n\n\n

ST = 9\u221a3\/3<\/p>\n\n\n\n

ST = 3\u221a3<\/p>\n\n\n\n

Se ST \u00e9 3\u221a3 ent\u00e3o as coordenadas do ponto que passa pelo eixo y \u00e9<\/p>\n\n\n\n

T = (0; 3\u221a3)<\/p>\n\n\n\n

Sabemos que na fun\u00e7\u00e3o de 1o grau y = ax + b, b \u00e9 o ponto em que corta o eixo y, ent\u00e3o a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n

y = ax + 3\u221a3<\/p>\n\n\n\n

Conseguimos calcular a substituindo os valores do ponto R (9,0) na equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

0 = 9a + 3\u221a3<\/p>\n\n\n\n

9a = – 3\u221a3<\/p>\n\n\n\n

a = -3\u221a3\/9<\/p>\n\n\n\n

a = -\u221a3\/3<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o a fun\u00e7\u00e3o y \u00e9<\/p>\n\n\n\n

y = -\u221a3x\/3 + 3\u221a3<\/p>\n\n\n\n

Alternativa B<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Na figura est\u00e3o representadas, em um plano cartesiano, duas circunfer\u00eancias: C1 (de raio 3 e centro O1) e C2 (de raio 1 e centro O2 ), tangentes entre si, e uma reta t tangente \u00e0s duas circunfer\u00eancias nos pontos P e Q. Nessas condi\u00e7\u00f5es, a equa\u00e7\u00e3o da reta t \u00e9 Solu\u00e7\u00e3o Precisamos descobrir as coordenadas […]<\/p>\n","protected":false},"author":11,"featured_media":7327,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[87,95],"tags":[],"area-do-conhecimento":[118,132],"assunto":[62],"class_list":["post-7324","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-questoes-ppl","category-2016-questoes-ppl","area-do-conhecimento-matematica-e-suas-tecnologias","area-do-conhecimento-matematica","assunto-geometria-analitica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7324","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7324"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7324\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7329,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7324\/revisions\/7329"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/7327"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7324"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7324"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7324"},{"taxonomy":"area-do-conhecimento","embeddable":true,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/area-do-conhecimento?post=7324"},{"taxonomy":"assunto","embeddable":true,"href":"https:\/\/xequematenem.com.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/assunto?post=7324"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}