Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da
máquina, segundo a expressão:
P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de
máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
A) 100,5
B) 108
C) 102,5/84
D) 102,5/99
E) 25 × 10−2
Resolução
P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]
Como a pressão interna P depende do tempo contínuo e a pressão máxima é 10 atm, temos que
P ≤ 10
Consequentemente
4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)] ≤ 10
Vamos resolver a equação
log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)] ≤ 10/4
log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)] ≤ 2,5
Se colocarmos 10 elevado aos dois lados da equação, sumimos com o log, ficando
−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19) ≤ 102,5
Para descobrimos o maior valor para K, precisamos saber qual o maior valor de t na função
f(t) = -K(t + 1)(t – 19)
É uma função de segundo grau com concavidade para baixo, entã o maior valor de t será o x do vértice que é
tv = (-1+19)/2 = 9h
Substituindo na equação:
−K ⋅ (9 + 1) ⋅ (9 − 19) ≤ 102,5
−K ⋅10⋅(-10) ≤ 102,5
K.10² ≤ 102,5
K≤ 102,5/10²
K≤ 100,5
O maior valor que K pode assumir é 100,5
Alternativa A
